从商用软聚合物（如PDMS、Ecoflex）、水凝胶到复杂的生物组织，软材料在柔性电子器件、软体机器人及生物医学工程中扮演着不可或缺的角色。然而，在对其进行力学表征或实际应用时，这些软物质往往会在与其他物体接触时经历极端的局部变形（即“深压痕”现象）。经典 Hertz 接触理论和传统的改进模型由于受限于小变形假设，在面对高分子软材料的大变形深压痕接触时会产生严重偏差。

  近日，香港城市大学令狐昌鸿校长助理教授、哈尔滨工业大学冷劲松教授、清华大学高华健教授、新加坡南洋理工大学夏焜（K. Jimmy Hsia）校长讲席教授联合团队，提出了一种“几何映射法”理论框架。研究推导得到了软材料的深压痕接触行为的解析解，揭示了一条跨越多种软物质体系的统一标度律。

  相关成果以“Universal Scaling Laws and a Geometric Mapping Framework for Deep Indentation of Soft Materials”为题，发表在固体力学旗舰期刊 Journal of the Mechanics and Physics of Solids 上。

  在评价高分子材料的力学性能时，压痕测试是最常用的手段之一。但在深压痕条件下，聚合物网络会发生剧烈形变。随着球体压入基底，接触表面严重弯曲（图1a）。此时，经典小变形理论中“变形前后构型差异可忽略”的假设彻底失效——压力方向已发生改变，必须严格区分材料的未变形构型与变形后构型（图1b）。

  为了解决这一问题，研究团队巧妙地引入了几何映射（geometric mapping）方法：在保持弧长不变的前提下，将弯曲的接触弧“拉直”映射到直线上，其压力分布形式恰好恢复为经典的 Hertz 型表达式（图1c）。

图1 刚性球体压入柔软弹性基材的深压痕接触问题。(a) 钢球在 PDMS 基材上以不同压入深度下的压痕照片。(b) 有限变形下刚性球体压入弹性基体的示意图。(c) 法向压力的几何映射：(i) 沿球体-软材料接触弧面的压力分布，以及(ii) 在保持弧长不变的情况下，将压力分布映射到一条直线上，从而生成 Hertz 型压力分布。

  基于这一发现，研究团队成功推导出了即使在极端大变形下，依然适用的接触半径a 及接触力F 的闭式解析解。有限元仿真验证了闭式解析解在极大压入深度范围内的有效性（δ/R ≤ 2.5）。

图2 深度压痕接触行为的预测。(a) 接触半径和 (b) 接触力与压入深度的关系曲线，分别由有限元分析结果（蓝色圆点）得出，以及由所提模型（黄色实线）和 Hertz 理论（灰色虚线）预测。垂直虚线表示模型预测的接触半径等于球体半径的压入深度。图 (a) 插图显示了基底中归一化 von Mises 应力分布，图 (b) 插图显示了接触刚度随压入深度的变化。

  为了验证理论在真实材料世界中的普适性，研究团队对多种具有代表性的软物质进行了深压痕实验测试。令人振奋的是，尽管这些软物质的物理性质各异，但经过归一化处理后，它们的接触力数据塌缩到同一条主曲线上（图3）。有限元仿真也同步证实，更换不同的本构模型，计算结果差异可忽略。这揭示了一条跨材料体系的统一标度律，为我们理解软物质材料的压痕力学提供了简洁的物理图像。

图3 不同材料在深压痕下的接触力统一标度律。包括商用软聚合物（Ecoflex 00-30和PDMS）、食品（豆腐）和生物组织（章鱼触手）。

  本文通过引入有限变形的思想，在解析层面建立了“几何映射法”接触力学理论框架。这项研究不仅为极端变形下软物质材料的力学表征提供了精确的理论工具，也为下一代柔性可穿戴器件的界面接触设计、仿生软体机器人的抓取建模，以及组织工程中的生物力学评估奠定了的理论基础。

  哈尔滨工业大学博士生（新加坡南洋理工大学访问博士生）穆童为论文第一作者；香港城市大学令狐昌鸿校长助理教授、哈尔滨工业大学冷劲松教授、清华大学高华健教授、新加坡南洋理工大学夏焜校长讲席教授为论文共同通讯作者；其他作者包括哈尔滨工业大学刘彦菊教授。

  原文链接：https://doi.org/10.1016/j.jmps.2026.106572

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作者简介：

穆童，哈尔滨工业大学博士研究生（导师冷劲松院士），新加坡南洋理工大学访问博士生（导师夏焜校长讲席教授）。主要从事智能材料力学行为与智能材料结构设计研究。研究工作包括形状记忆聚合物及其复合材料的热-力学行为建模、液晶弹性体复合材料结构设计、智能软材料接触力学及其应用等。拥有中国国家发明专利3项；发表专著章节1章；在 JMPS、Composites Science and Technology、Composites Part B、Composites Part A等期刊发表论文15篇，被引500余次。

令狐昌鸿博士

香港城市大学校长助理教授（Presidential Assistant Professor）、“界灵实验室”负责人，香港城市大学深圳研究院“智慧体育与运动研究中心”主任；香港力学学会理事兼司库，香港城市大学“机器人与自动化研究中心”成员。浙江大学工程力学学士，固体力学硕士、新加坡南洋理工大学固体力学博士、博士后研究员。长期致力于智能界面科学与工程、界面粘附力学与应用、软物质力学、断裂力学、软体机器人、可穿戴、超材料、生物医疗等领域的研究。此外，其实验室还在探索广义界面相互作用问题（如AI for Science、集群、活性物质、经济学问题等）。在PNAS、Sci. Adv.、Nat. Commun.、Matter、Nat. Sci. Rev.、Adv. Funct. Mat.、JMPS、EML、IJSS等国际知名期刊上发表SCI论文40多篇，于Elsevier发表专著一章。授权中国国家发明专利7项，实用新型专利6项，申请国际专利2项。成果被新华社、人民日报、科技日报、Mirage News、Tech Xplore、MIT Technology Review等国内外百多家媒体报道与肯定。同时，担任Journal of Polymer Materials副主编，Extreme Mechanics Letters、Int. J. Smart. Nano. Mater.、SmartBot、Soft Science等国际期刊的青年编委，以及Sci. Adv.、Mater. Today、JMPS、EML、IJSS、IJMS等20多本SCI期刊的审稿人。（联合/共同）指导了硕/博士研究生20人，本科生60人，其中56人被国内外顶尖高校（哈佛大学、耶鲁大学、麻省理工、普林斯顿、斯坦福、剑桥大学、牛津大学、布朗大学、芝加哥大学、南洋理工大学等）录取并继续深造。