在双层薄膜结构中，若其中一层在外部激励载荷下产生主动应变，将导致其结构产生较大弯曲或折叠行为(图1)。例如，冰叶日中花的种皮和松果的鳞片中均存在各向异性的双层或多层结构，当外界湿度变化时，不同层产生大小不同各向异性的收缩或膨胀，使其可以产生可逆的弯曲变形行为，从而达到最优的散播种子的条件以促进自身种群繁殖。近年来，借助与水凝胶、介电弹性体、形状记忆橡胶等可产生主动应变的软材料，研究人员制备了多种可发生主动弯曲行为的双层薄膜结构，用来实现自行走、药物转运等功能。因此，通过理论和数值手段研究双层薄膜结构在主动应变作用下的力学行为，揭示曲率与主动应变之间的关系，对于双层薄膜的自弯曲优化设计、研制高效的柔性执行器等具有重要意义。

图1. 双层结构示意图，下标a表示主动应变层，下标p表示一般材料层。

  对于二维情形，Timoshenko早在1925年就得到了双层薄膜结构弯曲曲率与温度应变呈线性关系的结论。但在较大弯曲曲率时，轴向变形也会对曲率产生影响。如图2a所示，在较大主动应变时，有限元结果与新的理论分析结果吻合良好，表明结果的准确性，但均与Timoshenko解产生明显偏离。当厚度比的平方与模量比的乘积等于1时，在主动应变相同情况下，双层结构可产生最大的弯曲曲率(图2b)，该结论对设计具有最优弯曲性能的双层薄膜结构具有指导意义。

图2. (a)双层薄膜在主动应变作用下曲率变化，包括Timoshenko解、改进解及有限元结果对比，其中m和n分别为两层薄膜的弹性模量比和厚度比，α为主动应变大小。(b) 不同m和n情况下对应的曲率变化。

  另外，对于三维情形，当主动应变较大时，结构可呈现出分叉、多稳态切换等复杂力学行为。采用基于Riks方法的路径跟踪算法，可以模拟结构在复杂主动应变路径下的分叉行为。如图3a所示，当固定y方向主动应变，改变x方向主动应变α1，可以在C点和D观察到结构的Snap-through行为，表现为结构弯曲方向的快速翻转。因此，C和D对应为结构双稳态和单稳态的相边界，当主动应变值由双稳态区域越过相边界时，则可能发生Snap-through行为。通过多次模拟分析，可以找到不同α1和α2对应的相边界(图3b)。同时，还可以发现各向异性的主动应变可使结构能产生最大的弯曲行为(图3c)，即单位主动应变产生的曲率变化最大。该结论可从力学角度解释冰叶日中花种皮和松果鳞片中存在各向异性结构的原因，即在其他条件相同的情况下，各向异性微结构产生的各向异性主动应变能够使种子在最小的湿度变化条件下产生较大的开张，让种子易于扩散和繁殖，从而促进个体在长期的自然进化中能存活下来。另外，不同材料参数(如模量比、厚度比等)均对结构的双稳态行为产生影响(图3d)。

图3. (a)x方向弯曲曲率随x方向主动应变变化的分叉曲线；(b)不同主动应变组合情形的结构双稳态和单稳态相图及曲率变化；(c)平均曲率随主动变化情况；(d)不同厚度比时相图边界变化。

  以上相关成果发表在Extreme Mechanics Letters。论文第一作者为密西根州立大学软机器与柔性电子实验室博士后刘银，通讯作者为密西根州立大学曹长勇教授；清华大学冯西桥教授和麻省理工学院博士生曹云腾为论文共同作者。

  论文链接：https://doi.org/10.1016/j.eml.2019.100467