软磁流变弹性体是一种在弹性基体中嵌入软磁性粒子的智能材料。在磁场作用下，软磁流变弹性体具有明显的磁致变形行为，在软体机器人、触觉显示等领域具有广阔的应用前景。现有大多数关于软磁流变弹性体的理论工作都集中在描述其准静态力磁耦合行为上，而忽略了惯性对其力磁耦合行为的影响。然而，惯性对于软磁流变弹性体在磁驱动领域的应用起着至关重要的作用。例如，当软磁流变弹性体膜被外部磁场快速驱动时，它可能发生共振。此外，由于麦克斯韦力与磁通密度的平方成正比，软磁流变弹性体可能发生超谐振动。除此之外，由于磁场的欧拉特性，施加在软磁流变弹性体驱动器上的麦克斯韦力不仅取决于所施加的磁通密度，也和驱动器的结构变形有关。因此，基于软磁流变弹性体的磁驱动系统实际上是一个参变系统。
为弥补软磁流变弹性体驱动行为中惯性作用的缺失，中国科学技术大学龚兴龙团队提出了一种新型的，包含各向同性软磁流变弹性体的磁化、非线性粘弹和惯性效应的力磁耦合动力学模型，以探索磁场、惯性和粘弹行为对其磁驱动动力学行为的影响，并开发了和模型对应的有限元用户子单元程序，用于指导各向同性软磁流变弹性体驱动器的设计和应用。相关研究成果以“Modelling the dynamic magnetic actuation of isotropic soft magnetorheological elastomers”发表在国际力学Top期刊International Journal of Mechanical Sciences上。论文的第一作者为中国科学技术大学工程科学学院博士后汪伯潮，通讯作者为龚兴龙教授。
首先作者采用连续介质力学方法，建立了包含各向同性软磁流变弹性体超弹、磁化和非线性粘弹行为的自由能函数，之后通过引入克劳修斯-普朗克不等式，得到了本构模型对应的应力和磁场强度表达。参数拟合之后，各向同性软磁流变弹性体准静态应力应变（图1a）、磁化（图1b）和在不同应变幅值/加载频率下的粘弹性应力应变滞回曲线（图1c）的实验和模型结果的对比表明，所建立的模型能够准确地刻画各向同性软磁流变弹性体的磁化和非线性粘弹力学行为。
图1 各向同性软磁流变弹性体的准静态应力应变（a）、磁化（b）和非线性粘弹应力应变滞回曲线（c）实验（Exp）和模拟（Sim）结果对比
随后，作者将本构模型进行了有限元离散化，从而引入了惯性项的贡献，并比较了力磁耦合平面应变四节点等参单元在简单剪切强迫振动（图2a）、静态磁驱动（图2b）和动态磁驱动（图2c）下的理论解和有限元模拟解，验证了力磁耦合动力学模型在有限元层面的正确编码。有趣的是，对于正弦磁场激励，由于麦克斯韦力与磁通密度的平方成正比，力磁耦合平面应变四节点等参单元的动态磁驱动行为表现出明显的超谐振动特性。具体体现为系统的振动频率是磁场激励频率的两倍，见图2c。
图2 各向同性软磁流变弹性体力磁耦合平面应变等参单元在简单剪切强迫振动（a）、准静态磁驱动（b）和动态磁驱动（c）下的理论解（Analytical）/数值解（Numerical）和有限元模拟解（FEM）的对比
之后，利用已验证的力磁耦合单元，作者对由各向同性软磁流变弹性体和非磁性弹性体组成的双层梁的磁驱动动力学行为进行了有限元模拟。通过有限元仿真模拟，旨在了解惯性和粘弹性行为对各向同性软磁流变弹性体磁致变形的影响，揭示各向同性软磁流变弹性体驱动结构的非线性磁驱动行为和设计对应的磁场控制策略，并确保各向同性软磁流变弹性体驱动器的磁驱动行为按照预期进行。
第一个有限元案例分析对应的力磁边界条件和示意图见图3a，在该案例分析中，作者模拟了具有不同倾角的悬臂梁分别在采用超弹性、超弹和粘弹、超弹和粘弹及惯性材料模型下的磁致偏转行为。毫无疑问，在施加磁场后，由于各向同性软磁流变弹性体和不导磁弹性体层之间的应力失配，双层梁会发生弯曲变形。图3b的结果表明，不同倾角的双层梁在同一磁场下的偏转方向是不同的。对应的物理机制见图3a。而具有不同倾角的双层梁顶部中点沿x轴的位移见图c。和其他两种材料模型相比，施加给定磁通密度时，只包含超弹行为的材料模型对应的磁致变形最大。其原因在于惯性和粘弹性行为在一定程度上阻碍了材料的磁致变形行为，但同时，惯性和粘弹性也延缓了有限元仿真模拟中的数值不收敛行为。除此之外，图3c中的子图的结果表明，对于具有零度倾斜角和采用动态粘弹材料模型的双层梁，在磁场激励后，会出现轻微的振荡现象。
图3 具有不同倾角的各向同性软磁流变弹性体双层悬臂梁（a）在磁场激励下产生的麦克斯韦力、对应的磁致偏转（b）以及采用不同材料模型梁磁致位移的比较（c），有限元数值不收敛的开始通过图中的圆点符号表示
第二个有限元案例分析涉及各向同性软磁流变弹性体和不导磁弹性体双层固支梁在动态磁场激励下的磁驱动力响应，固支梁的磁场边界条件和磁驱动变形分别见图4a和b。尽管简化的固支梁结构和实际的磁驱动结构存在差异，但通过这种磁驱动二维双层固支梁的有限元案例分析可揭示磁驱动结构内在复杂的非线性动力学行为。首先对固支梁施加幅值为0.05 T的正弦交变磁场，双层梁上部中点沿y轴的峰值位移、谷值位移和峰谷值位移和磁场激励频率的关系如图5a所示。三个代表性频率下的变形时间历程、FFT变换结果、相图和庞加莱图如图5b至5g所示。由于磁致激励力与磁通密度的平方成正比，梁的振动体现出超谐振动行为。该仿真模拟结果表明，基于各向同性软磁流变弹性体磁驱动系统的高频振动可以通过施加相对低频的磁场激励信号产生。由于信号的衰减随频率的增加而增大，这种机制可以提高能量和信息的传输效率。此外，对于各向同性软磁流变弹性体驱动系统在柔性运动机器人领域的应用而言，可以利用这种共振机制放大驱动器的位移，从而降低对应所需的驱动磁场功率。值得注意的是，为了使系统达到这样的谐振放大振荡，磁场激励频率应该是系统谐振频率的一半。
图4各向同性软磁流变弹性体双层固支梁（a）在磁场激励下的磁致变形行为（b），对应的磁通密度为0.1 T
图5各向同性软磁流变弹性体双层固支梁沿y轴位移和磁场激励频率的关系（a），（a）中三个典型磁驱动频率下对应的位移时程结果、FFT变换结果、相图和庞加莱图分别列于（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）中，图（b）、（c）、（d）中的菱形符号对应磁场激励的频率
随后，作者进行了固支梁在不同磁通密度正弦交变磁场下磁驱动行为的模拟，结果见图6a。显然，固支梁存在着双稳态共振行为。以0.07 T磁通密度为例，当磁场激励频率超过第二阶共振频率（9.15 Hz）时，位移急剧减小。为判断第二阶共振频率是否对应非线性动力系统中的共振跳跃行为，作者对固支梁施加了从7.5 Hz到11.5 Hz的正向和反向扫频磁场激励，对应的位移时程结果见图6b，显然，在正向和反向扫频磁场激励下双层梁的峰值位移是完全不同的。这种共振跳跃行为可归因于所施加磁场的欧拉性质，以及惯性和麦克斯韦力之间的复杂耦合作用。另一方面，如图6a所示，固支梁的共振频率随着所施加磁通密度的增大而减小。这背后的物理机制为：对于正弦磁场激励而言，较大的磁通密度对应较大的静态麦克斯韦力。较大的静态麦克斯韦力使得梁产生较大的初始弯曲，从而降低了系统的整体刚度。因此，固支梁的共振频率在高磁通密度下反而有所降低。
图6（a）双层固支梁在不同磁通密度下的峰谷值位移和磁场加载频率的关系; （b）双层梁在正向和反向正弦磁场扫频激励下的位移时程结果
上述仿真分析案例结果表明，基于各向同性软磁流变弹性体驱动器的磁驱动响应可以通过调节施加的磁场激励来进行调控。为此，作者提出了用于调谐双层梁振动频率的磁场激励调控策略。具体而言，对于包含恒定和交变分量混合磁场的各向同性软磁流变弹性体固支梁而言，利用麦克斯韦力和磁通密度平方成正比的特点，固支梁的振动频率可通过改变恒定磁场的大小来调节，而无需改变对应交变磁场的频率，相关模拟结果见图7。在该有限元案例分析中，交变磁场的激励频率设置为4 Hz。在第一阶段，仅对固支梁施加交变磁场激励，对应的稳态位移时程结果、FFT变换结果、相图和庞加莱图如图7b和7e所示。由于激励力与所施加磁通密度的平方成正比，第一阶段系统的主振动频率为8 Hz。在第二阶段，作者在第一阶段基础上添加了幅值为交变磁场四倍的恒定磁场激励，相应的稳态位移时程结果、傅里叶变换结果、相图和庞加莱图见图7c和7f。由于交变/恒定磁场比例很小，该阶段系统的主振动频率从8 Hz降低到4 Hz，表现出轻微的谐波失真行为（见7c中的位移傅里叶变换结果和7f中的相图）。在第三阶段，将恒定磁场的比例减小到第二阶段的一半，相应的稳态位移时程结果、傅里叶变换结果、相图和庞加莱图见图7d和7g。可以看到，此阶段位移响应中出现了三个谐波分量。由此可见，相较于传统的线性动态系统，基于各向同性软磁流变弹性体的磁驱动系统，动力学行为复杂多变。驱动器的位移响应不仅取决于所施加交变磁场的频率，还和恒定磁场与交变磁场之间的振幅比密切相关。
图7（a）磁通密度和双层梁位移随时间的变化（a）以及不同磁场激励条件下的稳态位移时程结果、傅里叶变换结果、对应的相图和庞加莱图（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g），图中的菱形符号对应交变磁场激励的频率
本研究建立了一种新型的，反映各向同性软磁流变弹性体力磁耦合动力学行为的本构模型。在验证了该模型在有限元层面上的正确编码后，本研究通过有限元案例分析深入研究了由各向同性软磁流变弹性体和不导磁弹性体组成的双层悬臂梁的磁驱动动力学行为，揭示了惯性和粘弹性对各向同性软磁流变弹性体磁驱动器的磁驱动变形行为的影响。此外，该研究还分析了由各向同性软磁流变弹性体和不导磁弹性体组成的双层固支梁在磁场激励下的磁驱动相应。研究揭示了由麦克斯韦力和外加磁场强度之间的平方比关系，以及磁场的欧拉性质所导致的各向同性软磁流变弹性体磁驱动器的超谐振动和共振跳跃等非线性振动现象。此外，案例分析结果表明，改变直流磁场和交变磁场之间的比例可以实现对各向同性软磁流变弹性体磁驱动器动力学行为灵活地调整。这些发现大大促进了对软磁流变弹性动态行为的理解，为软磁流变弹性在磁场驱动领域的实际应用铺平了道路。
原文链接：Bochao Wang, Leif Kari, Haoming Pang, Xinglong Gong. Modelling the dynamic magnetic actuation of isotropic soft magnetorheological elastomers, International Journal of Mechanical Sciences, 2023: 108908
https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2023.108908
