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  • [原创] 聚合物材料可靠性分析原理(23)

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  • 发表于:2018-06-21 7:02:22

聚合物材料可靠性分析原理(23)

石拓•著

2.4.2.2可靠性分析

现在,我们要以(2-16)和式(2-17)为基础,把材料抽样测试得到的数值为依据,对聚合物材料的整体性能,进行可靠性分析[3]。

因为我们已经得到了聚合物材料,由抽样测试,获得的性能数据值,来评判整体材料性能的可靠度函数(2-16),以及失效分布函数(2-17)。

所以,不难得到失效分布函数(2-17)中,材料性能的期望性能值(数学期望)E(x),以及期望性能值的均方差D(x)^(1/2),它们分别是下面的(2-19)和(2-20):

(2-19)          E(x)=1/λ=λ^(-1)   ,λ>0

(2-20)          D(x)^(1/2)= (1/(λ^2)^(1/2))=λ^(-1),λ>0

但是,到现在为止,我们虽然已经得到了整体材料的,可靠度函数(2-16)和失效分布函数(2-17),以及它们的期望值(2-19)和均方差(2-20)。然而,其中的参数λ是未知的。事实上,参数λ与不同的聚合物材料、不同的材料性能有关。因此,对于每一种不同的聚合物材料,不同的性能指标,它们的参数λ各不相同。

2.4.2.2.1求参数λ

失效分布函数(2-17)的期望均值(2-19)是一个概率统计值,因此其中的参数λ只能是概率统计值。在这里,我们是通过估计的方法获得参数λ,因此得到参数λ的值,叫做概率统计估计值,简称估计(算)值,用符号λ估算表示。

因为对于任意一个被测量的聚合物材料,抽样所得到的样本n,n∈Ω,由于每个样本的性能测量值xi,i=1,2,…,n,是各自相互独立的,因此满足概率统计中,英国统计学家费希尔(Ronald Fisher,1890-1962年)的,极大似然估计(MLE)条件,所以采用极大似然估计(MLE)法[1][3],来估计参数λ的估计值λ估算。下面把极大似然估计(MLE)法,简写成MLE。

参数λ的MLE估计(算)λ估算的过程是这样的:

设n是聚合物材料的试样数,n∈Ω;xi是与之对应的性能测量(试)值,xi∈[0,∞),i=1,2,… n。由(2-18),得似然函数(ⅰ):

L(λ)=Πnλexp(-λxi)=λ^nexp(-λΣnxi)    (ⅰ)

由(ⅰ)得到,对数似然函数(ⅱ):

lnL(λ)=nlnλ-λΣnxi                      (ⅱ)

由(ⅱ)得到,对数似然方程(ⅲ):

dlnL(λ)/dλ= n/λ - Σnxi                 (ⅲ)

解上式(ⅲ)求得,参数λ的MLE估计值λ估算,为(2-21):

(2-21)       λ估算= n/Σnxi=1/x平均,x平均=Σnλxi/n

其中的x平均是n个被测样品,性能测量(试)值的算术平均数。(2-21)表明,参数λ的MLE估计值λ估算,与被测样品性能x的算术平均值x ̅互为倒数。因此,参数λ估算的量纲是性能量纲的倒数(性能[量纲]^(-1))。

将(2-21)分别代入(2-19)和(2-20),得到材料性能失效的期望性能值(数学期望)(2-19):

(2-19)       E(x)=x平均

以及期望性能值的均方差(2-20):

(2-20)       D(x)^(1/2)=x平均

在(2-21)推导过程中,虽然,MLE估计值λ估算来自于抽样测量到的数据,但是,因为λ估算是抽样数据中出现概率的最(极)大者,所以λ估算是λ的最好或最为接近的估计值,即最好的λ≈λ估算,因此可以将λ估算取代λ。将λ估算≈λ代入(2-16)和(2-17),得到(2-16)和 (2-17):

(2-16)       R(x)=exp(-λ估算x)   ,x≥xm

(2-17)       F(x)=1-exp(-λ估算x)  ,0≤x﹤xm

因此(2-21)可解释为,可靠度函数(2-16)、失效分布函数(2-17)中的参数λ,与整体聚合物材料性能的算术平均值x平均成反比,比例系数为1。或者,参数λ是材料性能的算术平均数的倒数。

(待续)