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  • [原创] 聚合物材料可靠性分析原理(22)

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  • 发表于:2018-06-08 9:36:29

聚合物材料可靠性分析原理(22)

石拓•著

2.4.2聚合物材料性能的可靠性分析

由于聚合物材料抽样测试的性质(见2.4.1),决定了评判整批聚合物材料性能“失效”与否的风险。所以,研究材料性能的可靠性,以及失效分布,是十分的重要。为此,我们首先要获得,聚合物材料失效概率的解析,即分布函数。

2.4.2.1可靠度函数及失效分布

现在,我们要推导得到,聚合物材料性能的可靠度函数R(x),以及失效分布函数F(x)[2][4]。

在聚合物材料所有的性能测试中,无论是机械性能,还是电性能、热性能等等,所采用的方法属于破坏性试验(测量)。这种方法的一般过程是这样的:测试(量)仪器给予被测试样一个与被测性能有关的荷载,当荷载到达一定的量时,试样就此失效,这时仪器测量(记录)到了一个数据。这个测量到的数据,就是被测试样的某个性能值。然后将数据处理后,作为整体材料的性能值。

于是问题就来了,这就是,因为整体材料性能的实际值与测量值之间的随机因素,以及因为随机抽样的性能测试(量)值,替代整体材料性能值的问题,造成了用抽样获得的性能值,替代整体性能的可信度问题。要解决这个“替代”的可信度问题,必须要找到这个“替代”的可靠度函数。

1987年,我在《现代化工》杂志上,发表了题为“可靠性统计在工程塑料物理测试中的应用”的论文[2]。在此文中,论述了聚合物材料失效(被破坏)过程的一些基本事实,然后从这些基本事实出发,推导得到了下列的泊松(poisson)分布(2-15):

(2-15)          P{X=k} =[(λx)k/k!]•exp(-λx) ,λ﹥0

其中:λ>0是参数,x是材料的性能值,X是性能值x出现的次数。泊松(poisson),法国数学家,1781-1840年。

根据(2-15),我得到了聚合物材料的可靠度函数R(x)(2-16),以及失效分布函数F(x)(2-17)。

(2-16)         R(x)=exp(-λx)   ,x≥xm;λ﹥0

(2-17)         F(x)=1-exp(-λx) ,0≤x﹤xm;λ﹥0

其中的xm是整体聚合物材料性能的设计(要求)值。

泊松(poisson)分布(2-15)、可靠度函数(2-16)以及失效分布函数(2-17)的推导过程是这样的:

设n,n∈Ω,是从整体材料中随机抽取的样品,Q是测量(试)仪器施加到材料样品上的荷载值,xm是对整体材料设计(要求)的性能值,或者叫做材料应力—应变的临界值。

实验表明,聚合物材料试样,在测量(试)仪器的荷载Q作用下,Q∈[0,∞),材料将发生包括“应力—应变”在内的一系列变化,这些变化反映了下列的二个基本事实:

(1)材料试样在荷载Q,Q∈[0,∞)的作用下,材料的“应变”是一个随机变量ξ(n)。而且,材料所发生失效(被破环)的概率,即ξ(n)﹤xm的概率(或,ξ(n) ≥xm有效的概率),xm∈[0,∞)只与测量(试)仪器当前给予的荷载量Q有关。与荷载的起始无关。

(2)设荷载量的增加为ΔQ,Qi是增加了i个ΔQ的荷载量,试样在荷载量Qi的作用下,i=1,2,… h,Qi∈[0,∞),试样相应测量到的值(数据)是ξ(n)=xi,而ξ(n)=xi与评判标准xm之间的关系,只有两种可能,这就是:要么xi﹤xm(失效);要么xi≥xm(有效)。

根据上面的二个基本事实,我得到聚合物材料失效分布定理2-1。

定理2-1:设F(x)是聚合物材料的失效函数,如果1.聚合物材料失效与当前的荷载量有关;2.荷载量下材料的表现,要么失效,要么有效,那么聚合物材料的失效分布函数是指数分布,即:

F(x)=1-exp(-λx),x∈[0,∞);λ﹥0

定理2-1的证明:

设pi是随机变量ξ(n)=xi的概率,(1-pi)是ξ(n) ≠xi的概率。这时,把发生随机变量ξ(n)=xi,i=1,2,… h,xi∈[0,∞),的次数记为Xj。Xj是随机变量,Xj可能取的值是,Xj=0,1,2,…,m,中任意的一个。因此,根据定理2-1给出的条件Xj=k(发生ξ(n)=xi的次数Xj是k次)的概率,服从下列的二项分布:

P{Xj=k}=c(j,k)(pj)^k(1-pj)^(j-k) 

记j•pj=λx,得pj=λx/j,λ﹥0是参数。根据泊松(poisson)定理,当j较大时,上面的二项分布近似于泊松(poisson)分布[1][3] ,于是就导出了上面的(2-15)。

然后,根据(2-15)来证明,用抽样测量(试)的性能数据,替代整体聚合物材料性能数据的可靠度函数(2-16)。

设k=0对应于材料设计(要求)的性能xm,即xm=k=0。因为,只要聚合物材料的测试性能值x,高于或等于材料设计的要求值xm,即x≥xm,就判为“有效”。所以,聚合物材料性能的可靠度函数R(x),是:

R(x)= P{ξ(n) ≥xm︱xm∈[0,∞)} = P{在载荷[0,∞)内,有效} = P{X=k|k =xm } = P{在荷载[0,∞)内,k=0} = P{X=0}

将上式代入(2-15)。于是就得到,被测量(试)的聚合物材料,替代整体性能的可靠度函数(2-16):

(2-16)             R(x)=exp(-λx),x≥xm;λ﹥0

其中的λ是参数。(2-16)表示,在聚合物材料的性能测量(试)中,用材料的抽样数据,代表达到整体材料设计(要求)数值xm的可靠度(或者叫可信度)。

接下来,根据可靠度函数与失效分布的关系(2-13):

(2-13)             R(x)+F(x)=1

得到的失效分布函数是(2-17):

(2-17)            F(x)=1-exp(-λx) ,0≤x﹤xm;λ﹥0

上式(2-17),在概率统计中被称为指数分布(exponential distribution)。于是,定理2-1就得到了证明。

定理2-1表明,抽样检测的聚合物材料,因为测量(试)到的性能数据,不能达到设计(要求)的性能xm,而被判为整体材料失效的概率,服从指数分布(2-17),它的概率密度函数是(2-18):

(2-18)           f(x)=dF(x)/dx=λexp(-λx) ,λ﹥0

密度函数(2-18)可以解释为,整体材料性能x值分布的变化率。反映了聚合物材料由抽样被测值替代的整体值,在整体材料中分布变化的情况。

(待续)